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電話銀行排隊理論的科學視角

2005/08/19

　　呼叫中心（Ｃａｌｌ Ｃｅｎｔｅｒ）是一種技術密集型客戶服務中心。作為與企業(yè)連為一體的完整的綜合信息服務系統(tǒng)，呼叫中心基于計算機電話集成（ＣＴＩ）、數(shù)據(jù)庫和網(wǎng)絡等多種技術，可為用戶提供多種高效地服務。

　　有調查顯示，僅美國和加拿大的呼叫中心就已超過１４萬個。專家預測，世界呼叫中心市場今后每年將會以２１％的速度遞增。在中國，呼叫中心發(fā)展態(tài)勢強勁，年平均增長率竟高達１４％。其主要應用領域聚集在電信、金融等服務性行業(yè)，占呼叫中心總量的７０％以上。在建設呼叫中心之際，用戶普遍關心的一個話題是：如何在一定經(jīng)濟條件下設計合理的座席數(shù)目，以達到預定的服務質量和效率，并能預測系統(tǒng)性能。

　　目前，被企業(yè)用戶廣泛運用的設計方式是采用簡單的排隊模型。盡管這種模式對呼叫中心的發(fā)展有著重要的理論指導作用，但這些排隊理論的前提假設和實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)有一定差距，不能精確評估實際呼叫中心的性能和績效，從而影響著呼叫中心的設計和性能評價。為使排隊理論模型能更精確地刻畫呼叫中心的各種特征，Ｌａｗｒｅｎｃｅ Ｂｒｏｗｎ等人以某電話銀行呼叫中心在一段時間內(nèi)的詳細電話數(shù)據(jù)為基礎，通過統(tǒng)計分析，得出一些更切合實際、更優(yōu)化性能的理論。在呼叫中心從“成本中心”轉變?yōu)椤袄麧欀行摹钡氖袌鰻顩r下，這些科學的排隊理論對注重呼叫中心服務質量和運營效率的金融機構來說有著深遠的指導意義。

一、簡單的呼叫中心排隊理論

　　在呼叫中心排隊理論中，運用最為廣泛、實現(xiàn)最為簡單的排隊模型要數(shù)Ｍ/Ｍ/Ｍ體系，有時也稱為Ｅｒｌａｎｇ－Ｃ模型。

　�。�/Ｍ/Ｍ模型的運用有著嚴格的限制條件。首先，它假定在穩(wěn)定情況下呼叫到達是泊松（Poisson）流，服從一固定速率的泊松分布，服務時間服從指數(shù)分布，座席代表能夠提供相同的服務且在統(tǒng)計上各個座席代表互相獨立。但是，該理論并沒有考慮到排隊中顧客等待不耐煩、放棄排隊、時間因素、服務者熟練程度等實際情況。有調查數(shù)據(jù)表明，根據(jù)該模型得出的預測結果跟實際結果相差很遠。

　　另一個排隊理論模型是Ｅｒｌａｎｇ－Ｂ，也稱Ｍ/Ｍ/Ｎ/Ｎ。該模型沒有考慮顧客呼叫的排隊等待問題，卻考慮到呼叫的堵塞問題。只要沒有足夠的座席，它就會放棄顧客的呼叫。這是一種通過延遲呼叫到達消除顧客排隊問題的解決方案，只要呼叫進入到呼叫中心系統(tǒng)，就不會產(chǎn)生延遲，并能夠立即得到服務。此時，若負載發(fā)生變化，將導致通信線路過多或者過少。

　　考慮到顧客在呼叫等待時可能產(chǎn)生主動放棄或出現(xiàn)呼叫堵塞等狀況，后來又出現(xiàn)了Ｍ/Ｍ/Ｎ/Ｋ＋Ｇ模型，也稱Erlang-A模型。這種模型假設重負載情況下，顧客在等待過程中放棄的可能性與愿意等待的最大時間相關聯(lián)。該模型同樣假設呼叫中心的服務持續(xù)時間服從指數(shù)分布，同時假定顧客平均耐心等待時間也服從指數(shù)分布。而這些假設只適用于輕負載、小規(guī)模呼叫中心的性能分析。對于重負載、大規(guī)模呼叫中心來說，由于服務持續(xù)時間的分布特性影響了顧客平均等待時間，且服務持續(xù)時間不順應指數(shù)分布狀況，因此它并不適用于Ｅｒｌａｎｇ－Ａ模型。另外，這種模式不支持多優(yōu)先級呼叫中心的性能分析功能。

　　為檢驗排隊模型，我們需要運用一些統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行估算。在許多情況下，我們需要對這些原始數(shù)據(jù)進行假設。從理論上講，具有驗證模型或者校正模型功能的統(tǒng)計數(shù)據(jù)是很容易獲得的，因為計算機仿真軟件能夠跟蹤和控制每個電話的全過程。然而令人奇怪的是，以前為檢驗排隊模型而準備的統(tǒng)計數(shù)據(jù)只是一些“平均”數(shù)據(jù)，只能反映某一固定時間（如半小時）內(nèi)呼叫的總體情況。要想對呼叫中心進行實證研究，還需要更詳盡的、綜合性的經(jīng)驗數(shù)據(jù)。

二、科學的排隊理論及科學的觀點

　　科學的排隊理論是通過建立新的混和模型解釋呼叫中心的實際運營情況。在呼叫到達、服務時間、放棄、顧客愿意等待時間或實際等待時間等參數(shù)中，確定哪些參數(shù)是最重要的，哪些參數(shù)能夠確定座席人員數(shù)量，哪些參數(shù)對服務質量影響最大。在前面所列舉的三種Ｅｒｌａｎｇ模型中，包含兩種前提假設：呼叫到達服從泊松分布，服務持續(xù)時間服從指數(shù)分布。否則，應用模型分析出來的性能結果會與實際系統(tǒng)的統(tǒng)計情況產(chǎn)生較大的差距。Ｌａｗｒｅｎｃｅ Ｂｒｏｗｎ等人應用仿真軟件ｉＰｒｏｆｉｌｅｒ跟蹤支持兩個優(yōu)先級的某銀行呼叫中心，觀察它在某一年全部呼叫的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)共有１ ２００ ０００個電話到達了呼叫中心，其中有７５０ ０００個電話通過語音應答設備（ＩＶＲ或ＶＲＵ）得到服務，剩下的４５０ ０００個電話需要人工座席人員服務，而這４５０ ０００個電話數(shù)據(jù)才是本次統(tǒng)計分析的基礎數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)記錄了得到人工服務以及放棄服務的每一個電話的全過程，包括到達時間、等候時間、放棄、服務時間等。該中心支持兩個優(yōu)先級的服務。通過對這些數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析和假設檢驗，可以得到如下不同于傳統(tǒng)排隊理論模型的科學觀點。

１．呼叫到達的泊松混合模型
　　剔除一些特殊時間的呼叫，對具有普遍意義的呼叫統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析，我們發(fā)現(xiàn)呼叫到達并不是有著固定速率的泊松流，而是服從異構的泊松分布。將該速率作為一個參數(shù)，通過統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析，我們可以發(fā)現(xiàn)：該參數(shù)可以被視為某個平穩(wěn)變化的分布函數(shù)，它隨著不同的日期、一天中不同的時段以及呼入的類型而變化。通過將時間分為呼叫到達基本不變的時間區(qū)間，在每個時間區(qū)間（本例中為１５分鐘）內(nèi)，我們可以看出呼叫到達是異構的泊松流。運用數(shù)據(jù)序列估計或者最大可能估計法，我們可以得到該速率分布函數(shù)的分布形式。采用這種泊松混合模型進行呼叫中心的排隊分析，能更好地逼近實際系統(tǒng)。

２．服務持續(xù)時間的對數(shù)正態(tài)分布
　　除特別短或者特別長的服務持續(xù)時間外，通過經(jīng)驗數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)，服務持續(xù)時間并不是服從指數(shù)分布，而是服從近似對數(shù)正態(tài)分布。過去呼叫中心排隊模型的服務持續(xù)時間常被認為是指數(shù)分布，這主要是因為缺乏試驗數(shù)據(jù)，且假定為指數(shù)分布的服務持續(xù)時間更便于分析。在較為一般的排隊模型中，服務持續(xù)時間通過其變化系數(shù)（ＣＶ）的平方影響呼叫中心的性能評價。變化系數(shù)可以表示為：ＣＶ２＝δ２/Ｅ ２，其中Ｅ是平均服務時間，δ是服務時間的標準差。通過對呼叫中心某年年底兩個月的數(shù)據(jù)（這兩個月的統(tǒng)計數(shù)據(jù)具有普遍意義）運用再回歸分析原理，我們發(fā)現(xiàn)，盡管參數(shù)與呼入類型有關，但對所有的呼入類型來說，呼叫中心的服務持續(xù)時間都服從近似對數(shù)正態(tài)分布。雖然該分布是定量地運用圖形分析獲得的，在理論上還缺乏有效地說明和論證，但是我們?nèi)匀豢梢赃\用對數(shù)正態(tài)分布特性來估算平均等待時間。具體方法如下：

　　設Ｘ為具有均值υ、方差τ２的對數(shù)正態(tài)分布的隨機變量，則Ｙ＝ｌｎ（Ｘ）為一個具有均值為μ、方差為δ２的隨機變量，并且滿足υ＝ｅμ＋０．５τ；運用給定負載下的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，我們可以通過μ、δ２的估計值的置信區(qū)間計算出同一置信度下υ的置信區(qū)間，并通過估算Ｙ的均值和方差來估算Ｘ的均值υ，進而求出方差τ２，從而利用Ｃ２＝δ２/Ｅ２求出系統(tǒng)的等待時間。

３．等待時間或者放棄率
　　呼叫中心的科學排隊理論應該考慮到顧客等待的耐心和放棄行為等因素。這時就要涉及兩個不同的概念：顧客需要等待的時間和顧客愿意等待的時間。傳統(tǒng)排隊理論認為：在重負載下，所有顧客愿意一直等下去，直到服務中止。此時，顧客實際等待時間應該服從指數(shù)分布。事實上，顧客的實際等待時間和放棄行為與等待的耐心程度有關。

　�。校幔欤硎堑谝粋�用風險率來衡量顧客不耐煩程度的研究者，他提出用風險率的動態(tài)解釋，但質疑呼叫中心的總體風險率與個人有關。從呼叫中心的統(tǒng)計圖形上我們可以發(fā)現(xiàn)，呼叫放棄出現(xiàn)了兩次高峰，而兩次高峰出現(xiàn)的時刻正好是“請等待”提示音出現(xiàn)的時刻，從而揭示出總體呈現(xiàn)出相當一致的行為特征。

　�。拢颍铮鳎钐岢鲇媚托闹笖�(shù)來研究顧客耐心程度的研究者。他將耐心指數(shù)用顧客平均等待時間和平均愿意等待時間之比值表示。從統(tǒng)計數(shù)據(jù)來看，顧客愿意等待時間與呼叫業(yè)務有關，呼叫業(yè)務不同，顧客等待的耐心程度也不同。有鑒于此，對于大用戶、重負載的呼叫中心，我們應該根據(jù)不同業(yè)務設立不同的鏈路和座席人員。為了找出該指數(shù)的分布情況，我們首先假設顧客愿意等待時間和實際等待時間僅與顧客有關但相互之間獨立，并且跟傳統(tǒng)排隊理論一樣，都服從指數(shù)分布。此時，平均愿意等待時間和平均實際等待時間呈明顯的線性相關關系。接著，我們用經(jīng)驗數(shù)據(jù)來對其進行估計，我們可以通過每個詳細的電話記錄獲得這些經(jīng)驗數(shù)據(jù)。這種假設是否成立呢？通過數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，我們可以得出結論：平均愿意等待時間并不滿足指數(shù)分布，平均實際等待時間只是近似指數(shù)分布，而且實際等待時間的序列樣本值之間也并不獨立，因而兩者之間呈線性相關關系的論調是錯誤的。不僅實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)如此，這種線性相關關系也不能得到理論上的解釋。

４．負載的預測
　　要想提高呼叫中心的經(jīng)營質量和效率，就應該選擇適當?shù)淖瘮?shù)目。因為呼叫中心超過７０％的成本是人工成本，而服務質量和座席數(shù)目關系密切。呼叫中心負責人計劃和控制座席數(shù)目的關鍵是準確地預測負載。從統(tǒng)計角度看，預測負載的基礎基于可類比的呼叫到達時間和服務時間的歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析。將負載作為隨機變量，我們就可以認為任一時刻的負載值是到達率和平均服務時間的乘積。按照Ｍ/Ｍ/Ｎ模型，即使負載恒定不變，在足夠長的時間內(nèi)，按照該模型確定座席數(shù)目的呼叫中心也會爆滿，或者因大量呼叫進入等待而引發(fā)更多的放棄行為。

　　科學的排隊觀點是利用歷史數(shù)據(jù)估計出到達率Ｕ和平均服務時間Ｖ的變化函數(shù)，利用兩個函數(shù)之積得出負載Ｌ的變化情況（Ｌ＝ＵＶ）。盡管從到達率和平均服務時間圖形都出現(xiàn)了雙峰值，但大負載的銀行呼叫中心的相關數(shù)據(jù)統(tǒng)計結果并不支持這種相關性。因此，我們可以認為到達率和平均服務時間是有條件的相互獨立。由于到達率Ｕ和平均服務時間Ｖ的估計值都不是正態(tài)分布，我們可以通過每個時間間隔的到達率Ｕ和平均服務時間Ｖ的估計值的變化系數(shù)，運用
ＣＶ（Ｌ）＝
來計算出Ｌ的變化系數(shù)，進而計算出在每個時間間隔的置信區(qū)間。

　　運用更多更準確的統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析，我們可以得出更符合實際的排隊模型，以更好地應用于銀行呼叫中心，也為我們設計具有高質量和高效率的銀行呼叫中心、評價其經(jīng)營績效提供有價值的依據(jù)。盡管現(xiàn)有的最新排隊模型的前提假設和實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)比傳統(tǒng)的排隊理論更接近，但也有差距，因此不能對實際系統(tǒng)的性能進行精確評估。從科學的角度看，排隊理論模型還有待進一步研究，以使該模型能更好地刻畫呼叫中心的各種特征，從而實現(xiàn)呼叫中心服務質量與效率的平衡。

《中國金融電腦》


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